若m>0,n>0,m+n=1,证明：(m+1/m)^2+(n+1/n)^2>=25/2

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/23 15:20:32

如题

证明：
(m+1/m)^2+(n+1/n)^2
=m^2+2+1/m^2+n^2+2+1/n^2
=(m^2+n^2)+(1/m^2+1/n^2)+4
=(m^2+n^2)+(m^2+n^2)/(m^2*n^2)+4
=(m^2+n^2)[1+1/(mn)^2]+4
=[(m+n)^2-2mn][1+1/(mn)^2]+4
=(1-2mn)[1+1/(mn)^2]+4
由均值不等式：mn<=[(m+n)/2]^2=1/4
因此
1-2mn>=1-2*(1/4)=1/2
1+1/(mn)^2>=1+1/(1/4)^2=17
所以
(m+1/m)^2+(n+1/n)^2
= (1-2mn)[1+1/(mn)^2]+4
>=(1/2)*17+4
= 25/2
证完

若m<0,n>0,且m+n<0,比较m,n,-m,-n,m-n,n-m的大小，并用<连接起来已知M>N>0,求证:M+1/N(M-N)大于等于3 已知：m>n>0, 求证: m+ 1/(n(m-n))≥3 证明：若m>0,n>0,m为奇数，则(2^m-1,2^n+1)=1。已知m>0,n<0,求|m-n-1|-|n-m-1|的值若m>0,n>0,m的3次方加n的3次方=2。用反证法证明：m+n小于等于2 m^2+n^2=24(m,n>0),n是m的小数部分,求m,n. 设m.n是正整数,且根号7-m/n>0,试证:根号7-m/n>1/mn . 若不等式(m+n)x+(2m-3n)<0的解集是x<-1/3，则不等式（m-2n)x-(n-2m)>0的解集是？若a>0>b>c,a+b+c=1,M=b+c\a,N=a+c\b,P=a+b\c,则M,N,P之间的大小是